Сравнительный анализ методов оценки структурной неопределённости на данных реального ВНП США (1909–1970) из оригинального набора Нельсона-Плоссера.
Центральный вопрос
«Являются ли макроэкономические шоки перманентными, или экономика всегда возвращается к устойчивому тренду?»
Тест определяет эндогенную дату структурного излома, оценивая ADF-статистику для каждой потенциальной точки разрыва. Минимальная (наиболее отрицательная) \(t\)-статистика указывает на год наибольшего структурного изменения.
где \(DU_t(\lambda) = 1\) если \(t > T\lambda\) (фиктивная переменная излома), \(\lambda \in (0.15,\, 0.85)\) -- параметр локализации.
Каждая точка -- ADF \(t\)-стат. для кандидатной даты излома. Минимум при 1938.
| CV 1% | -5.576 | Не отвергнут |
| CV 5% | -5.073 | Не отвергнут |
| CV 10% | -4.827 | Отвергнут |
На уровне 5% единичный корень не отвергается: шоки перманентны (Нельсон-Плоссер правы). На уровне 10% -- отвергается: экономика возвращается к тренду (Перрон прав).
В частотной парадигме это тупик: бинарный выбор без градации уверенности.
Вертикальная линия -- эндогенно определённый год излома (конец Великой депрессии).
ARIMA Model B с детерминированным трендом и фиктивной переменной излома при 1938. Модель формально предпочтена по AIC/BIC, однако коэффициент излома статистически незначим.
Model B: ARMA(2,0) + Trend + Break
$$ y_t = \underbrace{\beta_0}_{4.626} + \underbrace{\beta_1}_{0.033}\, t + \underbrace{\beta_2}_{-0.093}\, D_{1938} + \phi_1\, u_{t-1} + \phi_2\, u_{t-2} + \varepsilon_t $$где \(u_t = y_t - \beta_0 - \beta_1 t - \beta_2 D_{1938}\), \(\phi_1 = 1.302\), \(\phi_2 = -0.453\), \(\sigma^2 = 0.003\).
Ширина 95% CI составляет 0.2152 и не изменяется на протяжении всего ряда. Модель ARIMA оценивает дисперсию остатков как единственную глобальную константу \(\hat{\sigma}^2 = 0.003\). Она «размазывает» ошибку равномерно: интервал одинаков для стабильных 1950-х и турбулентных 1930-х. Это фундаментальное ограничение параметрической спецификации.
Локальный линейный тренд (LLT) моделирует уровень и наклон как случайные блуждания. Маргинализация латентных состояний через фильтр Калмана сводит задачу сэмплирования к 5 гиперпараметрам дисперсии.
Уравнение наблюдения
$$ y_t = \mu_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\, \sigma^2_{\mathrm{obs}}) $$Уравнения перехода
$$ \mu_t = \mu_{t-1} + \nu_{t-1} + \xi_t, \quad \xi_t \sim \mathcal{N}(0,\, \sigma^2_{\mathrm{level}}) $$ $$ \nu_t = \nu_{t-1} + \zeta_t, \quad \zeta_t \sim \mathcal{N}(0,\, \sigma^2_{\mathrm{slope}}) $$Матричная форма
$$ \underbrace{\begin{bmatrix} \mu_t \\ \nu_t \end{bmatrix}}_{\mathbf{x}_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\mathbf{F}} \mathbf{x}_{t-1} + \mathbf{w}_t, \qquad y_t = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}}_{\mathbf{H}} \mathbf{x}_t + \varepsilon_t $$Прямая параметризация (сэмплирование инноваций \(\xi_t, \zeta_t\)) приводит к 666 дивергенциям из-за «воронки Нила» (Neal's funnel) в 127-мерном пространстве латентных состояний.
Решение: аналитически интегрировать латентные состояния через фильтр Калмана, сведя задачу к 5 гиперпараметрам. Апостериорное распределение тренда восстанавливается сглаживателем Рауха-Тунга-Штрибеля (RTS).
Маргинальное правдоподобие (Kalman filter log-likelihood)
где \(v_t = y_t - \hat{\mu}_{t|t-1}\) -- инновация, \(S_t = P^{(11)}_{t|t-1} + \sigma^2_{\mathrm{obs}}\) -- дисперсия инновации.
| Параметр | Mean | SD | HDI 2.5% | HDI 97.5% | ESS bulk | R-hat |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_{\mathrm{obs}}\) | 0.0090 | 0.0070 | 0.0000 | 0.0220 | 2350 | 1.000 |
| \(\sigma_{\mathrm{level}}\) | 0.0570 | 0.0140 | 0.0260 | 0.0810 | 1889 | 1.000 |
| \(\sigma_{\mathrm{slope}}\) | 0.0180 | 0.0170 | 0.0000 | 0.0530 | 1321 | 1.000 |
| \(\mu_0\) (level init) | 4.7540 | 0.4390 | 3.9160 | 5.6280 | 5919 | 1.000 |
| \(\nu_0\) (slope init) | 0.0300 | 0.0500 | -0.0680 | 0.1240 | 6734 | 1.000 |
Слабо информативные априорные распределения: \(\sigma \sim \mathrm{HalfCauchy}\), \(\mu_0 \sim \mathcal{N}(y_1, 0.5)\), \(\nu_0 \sim \mathcal{N}(0.03, 0.05)\). Сэмплер: NUTS (nutpie, Rust), 4 цепи, target_accept = 0.99.
Наклон естественно замедляется в Депрессию (\(\bar{\nu} = 0.023\), ~2.3%/год) и ускоряется после 1938 (\(\bar{\nu} = 0.036\), ~3.6%/год) -- рост в 1.58 раз.
Кульминация исследования: прямое сравнение ширины интервалов неопределённости в критический период экономической турбулентности (1938–1945).
Серая полоса -- фокусный период 1938-1945. Обратите внимание на постоянную ширину CI vs адаптивную ширину HDI.
| Год | ARIMA CI | Bayes HDI | Ratio |
|---|---|---|---|
| 1938 | 0.2152 | 0.0487 | 0.23 |
| 1939 | 0.2152 | 0.0441 | 0.21 |
| 1940 | 0.2152 | 0.0452 | 0.21 |
| 1941 | 0.2152 | 0.0434 | 0.20 |
| 1942 | 0.2152 | 0.0435 | 0.20 |
| 1943 | 0.2152 | 0.0448 | 0.21 |
| 1944 | 0.2152 | 0.0473 | 0.22 |
| 1945 | 0.2152 | 0.0454 | 0.21 |
| Mean | 0.2152 | 0.0453 | 0.21 |
Байесовский HDI в ~5 раз уже частотного CI
ARIMA CI: цена ригидности
Фиксированный параметрический тренд не может отследить нелинейную динамику перехода от Депрессии к WWII. Большие остатки раздувают оценку \(\hat{\sigma}^2\), создавая широкую, равномерную полосу, которая одновременно слишком широка в спокойные периоды и недостаточно адаптивна в период шоков.
Bayesian HDI: честная калибровка
Стохастический тренд плотно отслеживает данные. Неопределённость HDI отражает апостериорное распределение гиперпараметров \((\sigma_{\mathrm{obs}}, \sigma_{\mathrm{level}}, \sigma_{\mathrm{slope}})\), маргинализованных через фильтр Калмана -- а не мисфит жёсткой структуры. Интервалы не просто уже, а честнее откалиброваны.
«Байесовский HDI в 5 раз уже частотного интервала. Это не значит, что мы занижаем риск. Это значит, что гибкая модель поглощает динамику шока, которую ARIMA оставляет в остатках. Интервалы уже, потому что они более честно откалиброваны -- концентрируя неопределённость там, где латентный тренд действительно неоднозначен.»
Zivot-Andrews выявил излом в 1938, но результат попал в «серую зону» (p = 0.085).
ARIMA навязывает жёсткий излом (p = 0.289, незначим). Байесовский LLT находит его органически.
HDI/CI = 0.21. Не занижение риска, а лучшая калибровка.